Olimpíadas de Matemática de 2012

Senhoras e senhores, abaixo estão as provas do ano passado. Divirtam-se:

 

7^as séries

1) Seja um número irracional, tal que 4 < < 9. Então x pode ser igual a:

a) 25

b) 36

c) 50

d) 64

e) N.D.A.

2) Para que o trinômio x² + 2xy + * seja um quadrado perfeito, devemos substituir o asterisco por:

a) y

b) 4y

c) y²

d) 4y²

e) 2y²

3) Adicionando 4 ao cubo de um número, obtemos a soma do quádruplo com o quadrado desse número. Quantas soluções tem esse problema?

a) 3

b) 2

c) 1

d) Nenhuma

e) NDA

4) (FUVEST) Se A = , x = 2/5 e y = 1/2, então A é igual a :

a)-0,1

b)0,2

c)-0,3

d)0,4

e)-0,5

5) Considere as seguintes afirmações:

(i) Todos os números são múltiplos de 1.

(ii) Todos os números são múltiplos de zero.

(iii) Todos os números são divisores de um.

(iv) Todos os números são divisores de zero.

Então :

a) As afirmações verdadeiras são (i) e (ii)

b) As afirmações falsas são (iii) e (iv)

c) As afirmações verdadeiras são (i) e (iv)

d) As afirmações são todas falsas.

e) Todas as afirmações são verdadeiras.

6) (METODISTA) A expressão : vale :

a)-1/4

b)1/6

c)-5/4

d)5/4

e)-20

7) (IBMEC) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual:

a) à diferença dos quadrados dos dois números.

b) à soma dos quadrados dos dois números.

c) à diferença dos dois números.

d) ao dobro do produto dos números.

e) ao quádruplo do produto dos números.

8) Se a + b + 2c = 5 e a + b - 2c = 7 então a² + b² + 2ab - 4c² é igual a :

a) 2

b) -2

c) 35

d) -35

e) 12

9) (FATEC) Simplificando-se a expressão , com mÎ R, nÎR, m e m.n, obtém-se :

a)0

b)1

c)2

d)3

e)

10) Eu tenho o dobro da idade que ela tinha , quando eu tinha a idade que ela tem. Hoje a soma de nossas idades é 77. Qual é a minha idade ?

a) 40

b)42

c) 44

d) 46

e) 48

11) Adicionando os números que estão representados no interior dos retângulos na mesma linha da figura a seguir, devemos obter resultados iguais.

Assinale a alternativa que apresenta a classificação do valor correto da incógnita y.

a) Dízima periódica simples.

b) Dízima periódica composta.

c) Decimal exato.

d) Número natural.

e) N.D.A.

12) Observe as igualdades:

Podemos afirmar que:

a) Ambas são falsas.

b) Ambas são verdadeiras.

c) Apenas a primeira é verdadeira.

d) Apenas a segunda é verdadeira

e) A segunda só será falsa se a primeira for verdadeira.

13) Simplificando a expressão , obteremos:

a)

b)

c) (x + 4).(

d) (x + y).(x – y)

e)

14) Comprou-se uma peça de tecido por R$ 9.900,00. Se essa peça tivesse 7m a menos e custasse a mesma importância, cada metro ficaria R$ 210,00 mais caro. A peça original tem:

a) 5m.

b) 12m.

c) 22m.

d) 26m.

e) 30m.

15) Seja a fração irredutível correspondente a 2,63333... A diferença entre m e n é um número divisível por:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 7

16) Simplificando a expressão , temos:

a) 1

b) 2

c) 8

d) 16

e) 32

17) O mdc dos números n e 20 é 4 e o mmc entre n e 20 é igual a 160. Então, pode-se afirmar que:

a) n é um número inteiro entre 10 e 20.

b) n é um número inteiro menor que 10.

c) n é um número inteiro entre 20 e 40.

d) n é um número inteiro maior que 40.

e) não se pode determinar o número n.

As questões 18, 19 e 20 são subjetivas (“abertas”). Resolva-as no caderno de questões e escreva as respostas no gabarito.

18) Os irmãos Carlos e Augusto ganham juntos R$ 1.265,00 por mês. Carlos recebe R$ 325,00 mais do que Augusto. Eles colaboram com a despesa da casa: Carlos colabora dando R$ 160,00 a mais do que Augusto. Além disso, o dobro da quantia dada por Carlos é o triplo da que Augusto dá. Depois de colaborar com as despesas, qual a quantia que sobre para Augusto?

19) Em um acampamento de férias há 72 pessoas, entre alunos e professores. Sabe-se que cada professor é responsável por 8 alunos. Quantos alunos e quantos professores há nesse acampamento?

20) A sétima série A tem o mesmo número de alunos da sétima série B. Se forem transferidos 6 alunos as sétima B para a sétima A, a razão entre o número de alunos da sétima A para a sétima B será . Quantos alunos há em cada classe?

21) Marque a alternativa correta:

a) Todo triângulo escaleno é um triângulo isósceles.

b) A soma dos ângulos internos de um triângulo é 360°.

c) Todo triângulo Acutângulo é um triângulo equilátero.

d) Todo triângulo equilátero é um triângulo Isósceles.

e) O triângulo equilátero possui somente os lados iguais.

22) Na figura, temos x - y = 64°. Sendo r // s, os valores de x e y são, respectivamente,

a) 63⁰ e 117°.

b) 117° e 63°.

c) 117° e 63°.

d) 122° e 58°.

e) 58° e 122°.

23) Na figura a seguir, em que r // s, o valor de a + 2b - c é

a) 130°.

b) 50°.

c) 110°.

d) 90°.

e) 70°.

24) Na figura abaixo, os ângulos a e b são chamados

a) correspondentes.

b) alternos internos.

c) colaterais externos.

d) alternos externos.

e) colaterais internos.

25) Na figura, as retas r e s são paralelas. Em relação aos ângulos assinalados, sem conhecer suas medidas, é CORRETO afirmar que

a) a = b e x = y.

b) a + x = b + y.

c) a = y e b = x.

d) a + y = b + x.

e) a + b = x + y.

26) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos alternos-externos expressos em graus por 13x - 8° e 6x + 13° .

A medida desses ângulos vale:

a) 31°

b) 3°ou177°

c) 30°e150°

d) 62°

e) 93°

27) Na figura, as retas r, s e t são paralelas entre si. A medida do ângulo α assinalado é

a) 210°.

b) 260°.

c) 320°.

d) 300°.

e) 290°.

28) As retas r e s, da figura são paralelas cortadas pela transversal t. Se o ângulo B é o triplo de A, então B – A vale:

a) 90⁰

b) 85⁰

c) 80⁰

d) 75⁰

e) 60⁰

29) O número de diagonais de um icoságono convexo é:

a) 130

b) 140

c) 150

d) 160

e) 170

30) O número de lados de um polígono é a terça parte do número de diagonais. O número de lados do polígono é:

a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 12

 

 

8^a série - 2012

1) (UFRGS) A expressão é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

2) Um cidadão, ao falecer, deixou uma herança de R$ 200.000,00 para ser distribuída, de maneira equitativa, entre os seus x filhos. No entanto, três desses filhos renunciaram às suas respectivas partes nessa herança, fazendo com que os demais x – 3 filhos, além do que receberiam normalmente, tivessem um adicional de R$15.000,00 em suas respectivas partes dessa herança. Portanto, o número x de filhos do referido cidadão é:

a)8.
b)10.
c)5.
d)4.
e)7.

3) Um banco paga as contas de um cliente. As contas vencem, no mês de junho, segundo a função y = , em que x Є [1, 2, 3, 4, 5, ..., 30}, e y é o saldo do cliente, em milhares de reais, no dia x de junho.

Classifique as afirmações cm V, para as verdadeiras, ou F, para as falsas, considerando o saldo do cliente:

I. Chega a R$ 0, 00 no dia 27 de junho.

II. É positivo de 01 de junho a 26 de junho.

III. É negativo de 28 de junho a 30 de junho.

IV. É positivo durante todo o mês de junho.

A sequência correta, de cima para baixo, deve ser:

a) V – V – V – F

b) V – F – V – F

c) F – V – V – F

d) V – V – F – V

e) F – V – F – V

4) (PUC-SP) Se a = 16 e x = 1,25 quanto vale ?

a)

b) 32

c) 20

d) 16

e) 64

5) (ANGLO) A equação do segundo grau 2x² + 4x + m - 1 = 0 , mÎR, admite raízes reais se, e somente se :

a) m3

b) m-3

c) m = 3

d) m > -3

e) m < 1

6) (FEI) Uma das raízes da equação x²- x - a=0 é também raiz da equação x² + x -(a+20) = 0. Qual é o valor de a?

a) a = 10

b) a = 20

c) a = -20

d) a = 90

e) a = -9

7) (OBMEP) O gráfico mostra a variação dos preços de alguns produtos alimentícios no primeiro semestre em uma certa região. Com base no gráfico é possível afirmar com certeza que:

.	a) o milho sempre foi mais barato que o arroz e o feijão

.	b) o preço do arroz foi o mais estável no período

.	c) o feijão sempre custou mais caro que o milho

.	d) nunca houve dois produtos com o mesmo preço

.	e) o produto com menor variação de preços foi o feijão

8) (FGV) A soma das raízes da equação (x²-2x+).(x²-x-)=0 vale:

a) 0

b) 2

c) 3

d) 5

e) 6

9) (MACK-2-J)Dado m > 0, a equação admite:

a) unicamente a raiz nula.

b) duas raízes reais, sendo uma nula.

c) uma única raiz real e positiva.

d) duas raízes reais e simétricas.

e) uma única raiz real e negativa.

10) (FUVEST) Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x+1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, podemos concluir que f(5) é igual a :

a) 1/2

b) 1

c) 5/2

d)5

e) 10

11) (UFSM-03) Em um termômetro de mercúrio, a temperatura é uma função afim (função do 1° grau) da altura do mercúrio. Sabendo que as temperaturas 0 °C e 100 °C correspondem, respectivamente, às alturas 20 ml e 270 ml do mercúrio, então a temperatura correspondente a 112,5 ml é:

a) 36 °C

b) 37 °C

c) 37,5 °C

d) 38 °C

e) 40 °C

12) (ANGLO) O vértice da parábola y= 2x²- 4x + 5 é o ponto :

a) (2,5)

b)

c) (-1,11)

d)

e) (1,3)

13) (VUNESP) Em uma partida de futebol a trajetória da bola ao ser batida uma falta do jogo, é tal que a sua altura h em metros, varia com o tempo t em segundos, de acordo com a equação com . Então a afirmativa correta é :

a) A altura máxima atingida pela bola é de 25 m.

b) A distância do local da falta até o local onde ela atinge o solo é 20m.

c) o valor de t para o qual a bola atinge a sua altura máxima é maior que 5s.

d) a bola nesse intervalo de tempo, atinge 3 vezes o solo.

e) a bola começa a descer a partir de 6 s.

14) (MACK-01) Sabe-se que o quadrado de um número natural k é maior do que o seu triplo e que o quíntuplo desse número k é maior do que o seu quadrado. Dessa forma, k² – k vale:

a) 10

b) 12

c) 6

d) 20

e) 8

15) Simplificando a expressão obtém-se:

a)0

b)1

c)2

d)3

e) 4

16) Resolva as expressões e, a seguir, assinale a alternativa que contém a sequência correta de respostas.

a) I.10; II.5; III.36; IV.0

b) I.10; II.5; III.49; V.1

c) I.10; II.5; III.49; V.1

d) I.26; II.5; III.49; V.0

d) I.26; 2.10; III.36; V.1

As questões 17 a 20 são subjetivas (“abertas”). Resolva-as no caderno de questões e escreva apenas as respostas no gabarito.

17) (OBM) João gosta de verificar propriedades do jogo de xadrez em um tabuleiro 5 × 5. Num de seus experimentos, João coloca um cavalo na casa inferior esquerda do tabuleiro 5 × 5. Qual o número mínimo de movimentos do cavalo para que ele possa chegar a qualquer casa do tabuleiro 5 × 5?

Observação: O cavalo movimenta-se em L, isto é, anda duas casas em uma direção e, logo em seguida, uma casa na direção perpendicular, como ilustrado na figura abaixo:

18) Seu Orestes fez um galinheiro retangular com 21 m² de área. Ele usou apenas 13 m de tela porque um dos lados do cercado não precisava dela (ele aproveitou um muro já construído). Quanto mede cada lado do galinheiro?

19) Ao redor de um quadro retangular, de 8 cm por 5 cm, fez-se uma moldura. O quadro e a moldura ocupam, juntos, uma área de 108 cm². Determine a largura da moldura.

20) Na família Silva, o bolo de aniversário sempre tem velinhas, uma para cada ano vivido pelo aniversariante e todas novas. Sabendo que a soma y dos x primeiros números inteiros positivos pode ser calculada pela sentença matemática , responda: A filha única do casal Silva completou 10 anos, quantas velinhas de aniversário ela apagou?

21) Cinco cidades A,B,C,D,E, são interligadas por rodovias, conforme a figura. A rodovia AC tem 80km, e a rodovia AE tem 100km. Se a rodovia BD é paralela a rodovia CE e se AD tem 45km, quantos KM tem a rodovia AB?

a) 16 km

b) 20 km

c) 36 km

d) 40 km

e) 72 km

22) (Fuvest-SP) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B do lote que tem frente para a Rua A medindo 20 m?

a) 20 m

b) 25 m

c) 30 m

d) 35 m

d) 40 m

23) Considere um triângulo equilátero de lado l como mostra a figura a seguir. Unindo-se os pontos médios dos seus lados obtemos 4 (quatro) novos triângulos. O perímetro de qualquer um destes quatro triângulos é igual a:

a) 5 /2

b)

c) 3

d) /2

e) 3 /2

24) Na circunferência da figura de centro 0 e raio igual a 9 m, sabe-se que a tangente . A distância do ponto P à circunferência é:

B

a) 12 m.

b) 24 m.

c) 6 m.

d) 3 m.

e) n.d.a.

25) (PUCSP) Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico, supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia Y estava exatamente 72 milhas ao sul de X e que, a partir de então, Y navegou em linha reta para o leste, enquanto que X navegou em linha reta para o sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições, às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y, em milhas, era

a) 45

b) 48

c) 50

d) 55

e) 58

26) (CEMERJ) Para realizar um treinamento de salvamento em altura os bombeiros amarraram as extremidades uma corda no topo de uma torre vertical e prenderam a outra extremidade no solo, medindo 50 metros a distância entre as duas extremidades. Sabe-se que a referida costa estava totalmente esticada e formava um ângulo de 45⁰ com o solo, que era horizontal e plano. Qual a altura da torre utilizada no treinamento? (Considere

a) 25,00 m

b) 28,83 m

c) 35,25 m

d) 43,25 m

e) 43,25 m

27) (UFPE/06) Na ilustração a seguir, temos um retângulo ABCD, com medidas AB = 12 e BC = 5, e duas faixas retangulares EFGH e IJKL, com EF e JK de mesma medida. Se a área da região colorida e a da região do retângulo ABCD exterior a área colorida são iguais, qual a medida de EF?

a) 1,8

b) 1,9

c) 2,0

d) 2,1

e) 2,2

28) ABCDE é um pentágono regular convexo. O ângulo das diagonais AC e AD vale:

a) 30°

b) 36°

c) 45°

d) 60°

e) 72°

29) Leia com atenção a tirinha em quadrinhos abaixo:

Suponha que Mafalda esteja estudando o Globo Terrestre a partir de um protótipo. O comprimento do Equador desse globo terrestre tem medida igual a 60cm. O raio do globo estudado por Mafalda é, aproximadamente:

a) 9,55 cm

b) 376,8 cm

c) 753,6 cm

d) 0,104 cm

e) N.D.A.

30) O Brasil foi escolhido para sediar a Copa do Mundo de Futebol em 2014, e uma das cidades que acontecerão os jogos é o Rio de Janeiro. O Maracanã, que em tupi-guarani significa “semelhante a um chocalho”, é um dos estádios  onde irá ocorrer os jogos. Criado em 1950, tem o formato elíptico medindo 317 metros em seu eixo maior e 279 metros no menor. O campo tem medidas oficiais de 110m x 75m. A área oficial do campo onde ocorrerão as partidas no Maracanã é de:

a) 1100m²

b) 750m²

c) 11000m²

d) 75000m²

e) 8250m²

 

 

Gabaritos